الدرس السادس: عموميات حول التوتر المتناوب الجيبي

التوتر المتناوب الجيبي - الدالة الجيبية

بسم الله الرحمان الرحيم

الحمد لله رب الأرض ورب السماء، خلق آدم وعلمه الأسماء وأسجد له ملائكته، وأسكنه الجنة دار البقاء.

واشهد أن لا اله إلا الله وحده ليس له أنداد ولا شركاء. وأشهد أن سيدنا محمدا خاتم الرسل والأنبياء.

اللهم صل وسلم وبارك عليه وعلى آله وصحابته الأجلاء.

الموضوع: عموميات حول التوتر المتناوب الجيبي.

وبعد،

مرحبا بكم على مدونة زهرة، ومرحبا بكم في هذا الموضوع الجديد الذي سندرس فيه بإذن الله الموجة الجيبية للتوتر المتردد الجيبي، وذلك بعدما قمنا بعرض تعاريف له في موضوع سابق.

قبل أن نشرع في تتمة دروس هاته الدورة، كان لزاما أن ندرس التوتر الجيبي ولو بشكل ملخص. لأنه سيلازمنا كثيرا في الدروس القادمة. حيث سنرى سلوك المركبات والدارات الكهربائية في دوائر التوتر الكهربائي الجيبي.

كلنا نعرف أن مصدر التوتر الجيبي المنزلي هو المولد الكهربائي(Alternateur). يتكون هذا المولد من وشيعة تدور حول محور ثابت يمر من مركزها داخل مجال مغناطيسي محدث من طرف مغناطيس.

نحدد النقطة M على أحد أطراف الوشيعة. عند تتبع حركتها، نجدها تدور على شكل دائري حول النقطة O. فادا قمنا برسم ذلك المسار لوجدناه عبارة عن دائرة مركزها O وشعاعها OM.

نتجاهل المولد ونهتم بالنقطة M ومسارها على محيط الدائرة.

نرسم معلما متعامدا ممنظما أصله هو O مركز الدائرة. لتسهيل الحساب، نعطي لشعاع الدائرة OM القيمة 1 R=OM=1 إذن محيط الدائرة سيكون 2p. نقوم بإسقاط النقطة M على محور الافاصيل لتعطينا النقطة H، وعلى محور الاراتيب لتعطينا النقطة S.

نحدد المثلث القائم الزاوية في النقطة H MHO

لدينا

ونعلم أن

وبما أن القطعة SMHO عبارة عن مستطيل فأن

وبالتالي نحصل على المعادلة النهائية

والزاوية ألفا هي كذلك طول القوس AM التي تحصره بالراديان.

طيب، عندما تكون النقطة M منطبقة على النقطة A (الصورة أسفله)، تكون النقطة S منطبقة على أصل المعلم O. وبالتالي تكون الزاوية ألفا منعدمة وكذلك يكون طول القوس AM وطول القطعة OS.

فنجد أن

فنسجل هاته النتيجة في الجدول التالي.

ثم إدا انتقلت النقطة M إلى النقطة B(الصورة أسفله). نجد أن قياس الزاوية ألفا هو قياس القوس AM الذي يساوي p/2.

ثم نجد أن النقطة S منطبقة مع النقطة B. وبالتالي فإن طول القطعة OS هو شعاع الدائرة الذي يساوي 1.

إذن

ثم نسجل هاته النتيجة في الجدول السابق:

وإذا قمنا بتتبع مسار النقطة M عند بعض النقاط نحصل على هاته القيم:

نقوم بوضع هاته النتائج على معلم متعامد آخر، ثم نربط بين النقاط من A إلى A، فنحصل على منحنى عبارة عن موجة جيبية.

إذن بفضل الدالة sin قمنا بإعطاء صورة للتنقل الدائري للنقطة M على شكل منحنى جيبي.

نرجع إلى المثال السابق:

لدينا

لتسهيل الحساب قمنا سابقا بإعطاء القيمة 1 لشعاع الدائرة.

لكن الدالة الجيبية تبقى صحيحة مهما كانت قيمة R ووحدته.فنكتب

أي

هنا R يعبر عن وسع الموجة الجيبية أي أقصى قيمة ستصل إليها الموجة.

إلى هنا حاولت قدر الإمكان تبسيط شرح الدالة الجيبية. للمزيد من الدراسة المرجو مراجعة درسي الحساب المثلثي والدالة الجيبية في مادة الرياضيات.

نرجع إلى المولد الكهربائي:

إذن حركة النقطة M التي تمثل دوران الوشيعة بالشكل الدائري حول المركز O، أنتجت توترا على شكل موجة جيبية، لذلك سمي بالتوتر الجيبي.

فصيغة الدالة الجيبية في مادة الرياضيات تكون على الشكل التالي:

أما في العالم الفيزياء فسنغير OS بالتوتر اللحظي Ut وهو قيمة التوتر في لحظة معينة. وسنغير الشعاع R بالتوتر Um وهو أكبر قيمة يصل إليها التوتر. وسنغير الزاوية ألفا بـ wt الذي يسمى نبض الدالة وهو سرعة الزاوية أو إن صح التعبير هو سرعة دوران النقطة M على محيط الدائرة. ويعتبر كذلك كالتردد لكن وحدته هي الراديان على الثانية. أما وحدة التردد فهي الهرتز. حيث كلما كانت سرعة الزاوية كبيرة، إلا وكان التردد كبيرا.

فتصبح صيغة الدالة على شكل التالي:

ويمكن تمثيل التيار المتناوب الجيبي بهاته الدالة:

ويكمن حساب نبض الدالة بالطريقة التالية:

لدينا السرعة هي خارج قسمة المسافة l على المدة الزمنية t.

والمسافة التي ستقطعها النقطة النقطة M لتكمل دورة كاملة على الدائرة هي 2p في مدة t تساوي دور الموجة T، فنحصل على النبض بإحدى المعادلتين التاليتين:

هاته الدالة

تخول لي معرفة قيمة التوتر في أية لحظة t. وكذلك معرفة موضع النقطة M داخل المولد.

كمثال عند اللحظة t=0s

لدينا

أي

إذن عند اللحظة t=0s نجد أن التوتر منعدم، وموضع النقطة M (أو موضع الوشيعة) على شكل أفقي لأن زاوية السرعة منعدمة

عند اللحظة t=1/4s لدينا

أي

لتسهيل الحساب نفترض ان دور التوتر هو 1 ثانية

إذن نحصل على النتيجة

لدينا

أي

في هاته الحالة فالتوتر يأخذ أعلى قيمة يمكن أن ينتجه المولد، وهو يتعلق بحجم وقوة المغناطيس وكذلك عدد لفات الوشيعة. أما موضع النقطة M فنجدها على شكل رأسي محاذية تماما للقطب الشمالي للمغناطيس. لأن الزاوية w تساوي p/2